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１　四次重み付き平均位相誤差差分法(FWA)による定式化

　　　　　　　　　　　　（１．１）

ここで　C:濃度　　u,  v : x,  y方向の流速　　V :時間　である。

いま簡単のために式（1）の一次元方程式を時間方向はEuler型時間前進法

により、空間方向は四次の重み付き平均差分法により定式化すると次式を得る。


　　
　　 　　 　　

　　 　 　 　　　　 　（１．２）

ここで、：クーラン数である。
　
ただし、ｎ：時間方向の指標，i：ｘ方向の指標である。したがって、W=0で四次上流差分法，

W=0.5で四次ゼロ平均位相誤差差分法（FZA），　W=1で四次中心差分法となる。

２　誤差解析手法によるFWAの補正方式の提案

次式の二次元移流方程式について考える。


　　　　　　　　　　　（１．３）

いま式（1.3）が線形であると仮定し，拡散係数を定数とすると

式（1.3）は変数分離法によって解くことができるが，その一般解はフーリエ級数で表現され、

その成分の一つは次式で表わされる。

　　　　 （１．４）

ただし，Ａ：複素定数、：x，y方向の波数、：フーリエ成分波の波長、

ｈ：メッシュ幅　である。 ここで，　　

ただし，ｍ：時間方向の添字　　�凾煤Fタイムステップ　　である。

また、：空間x，y方向の添字　　：x，y方向のメッシュ幅

とすれば式（１．４）より次式を得る。

　　　　　　　　　　　　　　　　（１．５）　　

　は時刻ｔ＝ｍ�凾狽ﾅの座標の濃度である。

すなわち式（1.5）より一般解の増幅因子は次式で表わされる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１．６）

一方，数値解の増幅係数は式（1.3）の重み付き平均式（FWA）

中の（二次元表示の場合）に　 を代入して整理すると、

次式により表わされる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１．７）　

ただし， の関数

の関数　である。

ここで，精度改善のために粘性項と移流項に

　補正係数fおよびgを導入した次式 を考える。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１．８）

したがって、式（1.6）と式（1.8）を等値することにより補正係数を

求めることができるが、この際　に依存しない係数を求める

ために， の極限を考えると次式を得る。

　　　　（１．９）

　　　　　　　（１．１０）　

すなわち式（1.10）で求めたf，gにより

数値解における式（1.8）を補正することができる。

二次元移流拡散方程式（式（1.3））の場合は、式（1.9），（1.10）より

FWAの補正係数として次式を得る。

　 　　　　　　　　　　　　（１．１１）

このFWAの補正係数をFWA(Ｃ)と定義する。したがって移流方程式は、

式（1.3）において拡散係数 を0とおいて求めることができる。

３　数値計算例

３．１　計算条件

ただし，　C:濃度　　u,  v : x,  y方向の流速　　V :時間

　　移流速度：　　（=(1,1)，　r：位置ベクトル）　　　

　　　数値誤差：　 (%)        　  

：解析解，　：数値解，　：解析解の最大値

N：総節点数（境界を除く），　M：計算繰り返し回数

図３．１　境界条件と初期条件

３．２　数値計算結果

：濃度の最大値　　：クーラン数

表３．１　一周後の計算結果（50×50）
　
解析解：１　(x, y) = (0, -0.5)

　　　　　　　

FWA(C)　（W=0） 　　　　　　　　　　 初期濃度分布

　　　　　　　

　 （W=1） 　　　　　　　　　　　　　　　　（W=0.5）
　

　一周後の濃度分布図 （50×50　メッシュ, =0.25 ）


以　上